GCE O/L geometric grading 1 Short Note- ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩී 1 කෙටි සටහන්

GCE O/L geometric grading 1 Short Note- ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩී 1 කෙටි සටහන්

(අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩී පිළිබද දැනුම අලුත් කර ගන්න.

a = මුල් පදය  ; d = පොදු පදය  ; l = අවසාන පදය  ; Tn = n වැනි පදය ;

d = T2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn-1

l = a + ( n – 1 ) d ; a  සහ b පද දෙක අතර

සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය  = a + b

                               2

n  තරම් වූ පද ගණනක ඓක්‍යය = Sn

Sn = n ( a + l ) හෝ Sn = n { 2a + ( n – 1 ) d }

        2                            2

(ආ) ගුණෝතර ශ්‍රේඩීයක් බව නීර්ණය කිරීම.

නිදසුන 01

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , .................

මෙම නිදසුනේ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයේ පොදු අන්තරයක් සහිත නොවේ.එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.

ඉහත නිදසුනේහි ,

2 , 2 × 2 , 2 × 3 , 2 × 4 , 2 × 5 , 2 × 6 , වශයෙන් 2 හි ගුණාකාර ඇත.

නිදසුන 02

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...................

මෙම නිදසුනත් සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් පොදු අනුපාතයක් සහාත නොවේ. එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.

1 , 1 × 21 , 1 × 22 , 1 × 23 , 1 × 24 , වශයෙන් 2 හි බල වල ගුණාකාර ඇත.

* එම ගුණාකාර හදුන්වන්නේ පොදු අනුපාතය යනුවෙනි.

* පොදු අනුපාතය නියෝජනය කරන්නේ r සංකේතයනි.

* පොදු අනුපාතයක් සහිත සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් හැදින්වෙන්නේ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක් යනුවෙනි.

* සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක අනුයාත ( එක ළග පිහිටි ) පද දෙකක් ගෙන පළමු වැනි පදයෙන් දෙවැනි පදය බෙදු විට ලැබෙන අනුපාතය හැම විටකම සමාන වේ නම් ඒ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය ගුණෝතර    ශ්‍රේඩීයකි.

(අැ) ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පළමු පදය සහ අවසාන පදය අන්ත සංඛ්‍යා ලෙස හැදින්වේ. එම සංඛ්‍යා දෙකටම මැදි වු පද ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස හැදින්වේ.

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද දෙකක් අතරට මධ්‍යන්‍ය එකක් හෝ වැඩි ගණනක් හෝ ඇතුළු කළ හැකිය.

  X , Z , Y , ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද තුනක් වු විට  X සහ  Y  අන්ත පද ලෙස ද Z මධ්‍යන්‍යය පද ලෙස ද හදුන්වනු ලැබේ.

 ඉහත X , Z , Y , යන පද තුන ඇසුරෙන්

 Z ÷ X   =  Y ÷ Z =  r ලෙස සමීකරණයක් ලබා ගත් විට

 Z ÷ X  =  Y ÷ Z =  r

 එම නිසා X2 = ab

 එම නිසා X = ± (ab)½ ලෙස  X  හි අගය ලැබේ.

* පද දෙකක් අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස ඒ පද දෙකේ ගුණිතයේ වර්ගමුලය ලියනු ලැබේ.

* x සහ y  අතර ගු‍ණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය තුනක් ඇතුළත් කීරීමේ දී ඒ පද ඇසුරෙන් පොදු අනුපාතය ලබාගෙන අවශ්‍ය මධ්‍යන්‍ය පද ඇතුළත් කරගත හැකිය.

නිදසුන 01

10 සහ 160 අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යයක් ලියන්න.

ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය X ලෙස ගත් විට,

X = √10 × 160

X = √1600

X = ± 40

ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය   = 40 හෝ -40

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය a ලෙසද පොදු අනුපාතය r ලෙසද සංකේත මගින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.

   පදය වෙනුවෙන් T සංකේතය යෙදේ.

•     මුල් පදය            =  T1
•     දෙවැනි පදය        =  T2
•     තුන්වැනි පදය      =   T3
•     n වැනි පදය       =    Tn

* සංකේත මගින් ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද පහත දැක්වෙන අන්දමට ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.

T1 =  ar1-1   = ar0  = a

T2 =  ar2-1  = ar1  = ar

T3 =  ar3-1  = ar2 

Tn =  arn-1 = arn-1

(අ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පොදු අනුපාතය සෙවීම ( r සෙවීම )

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද දෙකක් ගෙන පළමු වැන්නෙන් දෙවැන්න බෙදු විට පොදු අනුපාතය ලැබේ.

T2 ÷ T1       = ar ÷  a   = r ;  

T3 ÷ T1       = ar2 ÷ ar = r ;

Tn-1 ÷ Tn-2  = arn-1 ÷ arn-2 = r ;

Tn ÷  Tn-1    = arn ÷ arn-1   = r ;

නිදසුන 01

පහත දැක්වෙන සංඛ්‍යා අනුක්‍රමවල ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීවල  පොදු අනුපාතය ලියන්න.

1) 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ...................

6÷ 3 = 2 ; r = 2 ;

2)2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,  ...................

4 ÷ 2 = 2 ; r = 2 ;

* පොදු අනුපාතය ( r ) ධන සංඛ්‍යාවක් හෝ සෘණ සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. නිශ්ශුන්‍ය ( බිංදුව නොවු  ) පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් හෝ භාග සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. සංකේතයක් ද විය හැකිය.

(ආ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක දෙන ලද පදයක අගය සෙවීම

නිදසුන 01

1)2 , 6 , 18 , ............... ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T6 සොයන්න.

        T6 = ar5 ;   a = 2 ; r = 3 ;

එම නිසා  ar 5 = 2 × 35 ( 35 = 125 )

           ar 5 = 2 × 125

           ar 5 = 250

2)X3Y2 , X2Y , X , ……………..ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T9 සොයන්න.

       T9 = ar 8 ; a = X3 Y2 ; r =   1

                                               XY

           එම නිසා  ar 8 = ( X3Y2 ×     1     )8

                                                 XY

                            ar 8 = ( X3Y2 × X-8Y-8 )

                            ar 8 = X-5Y-6 =    1

                                                   X5Y6

(ඇ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද ගණනක ඓක්‍යය

ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද ගණන n ලෙස ගත් විට පද ගණනෙහි ඓක්‍යය දැක්වෙන්නේ Sn යනුවෙනි.

a = මූල් පදය ද

r = පොදු අනුපාතය ද

n = පද ගණන ද

r > 1 ද වූ විට

Sn = a ( rn – 1 )  සූත්‍රය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකිය.

           r - 1

නිදසුන 01

මුල් පද 5 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වු ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදයේ සිට පිළිවෙළින් පද අට ක ඓක්‍යය සොයන්න.

a = 5 , r = 2 , n = 8      r > 1 නිසා

           Sn =      a ( rn – 1 )

                              r  - 1

           S8 =   5 ( 28 – 1 )

                        2 – 1

එම නිසා S8 =   5 ( 256 – 1 )

                             1 

          S8 = 5 x 255

          S8 = 1275 

(ඈ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක a , r සහ  Sn  දුන්  විට n  සෙවීම r , n සහ  Sn  දුන් විට a  සෙවීම

නිදසුන 01

මුල් පදය 3 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වූ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක ඓක්‍යය 765 ක් වීමට මූල් පදයේ සිට ගතයුතු පද ගණන සෙවීම.

 a = 3 , r = 2 , Sn  = 765

                a ( rn – 1 ) = Sn  

                      r – 1

              3 ( 2n – 1 )  =  765

                    2 – 1

    එම නිසා 3 ( 2n – 1 ) = 765

       එම නිසා( 2n – 1 )  =  765       =   255

                                     3

              එම නිසා   2n  =  255 + 1 = 256

              එම නිසා    2n = 28

                             n = 8

                    පද ගණන = 8